¿Es el infinito realmente un concepto significativo?
En el siglo XIX, los matemáticos hicieron mucho trabajo para analizar una base sólida que no requiriera conceptos confusos como “infinitamente pequeño”. ¿Por qué? Porque de lo contrario surgieron paradojas; tratar con cantidades infinitas e infinitesimales no era intuitivo y, por lo tanto, los matemáticos a menudo se engañaban o no estaban de acuerdo.
Entonces tal vez no fueron lo suficientemente lejos. Quizás incluso la misma noción de un “conjunto infinito” sea tan paradójica y no intuitiva, y deba hacerse más rigurosa. (Ciertamente, muchas preguntas sobre Quora muestran confusión sobre los infinitos.) Los filósofos que se remontan a la antigüedad han negado los infinitos “reales”.
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¿Cómo podemos definir los números sin incluir las declaraciones filosóficas mucho más complicadas sobre la teoría de conjuntos y la “existencia” de conjuntos? ¿Por qué deberíamos creer en objetos sin una posible realización física?
Debería leer este documento por un ultrafinitista que sea bastante accesible. https://web.math.princeton.edu/~…
Suponga que define números de la forma formalista como “cero”, “el sucesor de cero”, “el sucesor del sucesor de cero”, etc. Llamemos a estos “números de conteo”.
Definamos también “números aditivos”. Un número [matemático] x [/ matemático] es aditivo, si [matemático] x + y [/ matemático] es un número contable para todos los números contables [matemático] y [/ matemático]. Entonces podemos mostrar que si [matemática] x [/ matemática] y [matemática] z [/ matemática] son aditivas, entonces también lo es [matemática] x + z [/ matemática], y todos los números aditivos también cuentan números.
Del mismo modo, podemos definir “números multiplicativos”. Esos también están contando números.
¿Pero qué pasa con los “números exponenciales”? Un número [matemática] x [/ matemática] es exponencial, si para todos los números multiplicativos, [matemática] x ^ y [/ matemática] es un número multiplicativo. En este punto “nos quedamos sin vapor”, ¡porque no podemos demostrar que los números exponenciales están cerrados bajo exponenciación! De hecho, se hace referencia a una afirmación más fuerte en el documento anterior, que no existe ninguna propiedad [matemática] p [/ matemática] para la cual podamos probar tanto “[matemática] p (x) [/ matemática] como [matemática] p (z ) [/ math] implica [math] p (x ^ z) [/ math] “y” [math] p (x) [/ math] implica que [math] x [/ math] es un número de conteo “.
La conclusión que se invita a aceptar es que la exponenciación no genera números contables, es decir, números naturales. (Nelson continúa trazando algunos paralelos con la complejidad computacional). Puede pasar por alto esa conclusión asumiendo que los números naturales existen, como una totalidad completa. Pero nadie puede mostrarle el conjunto de números naturales; solo pueden construirlo suponiendo que hay un conjunto infinito.
Más prosaicamente, uno podría argumentar que el ultrafinitismo le da a uno más confianza que uno está hablando de “algo” (números que realmente existen) frente a “nada” (construcciones puramente imaginarias).