¿Puedes trabajar como desarrollador web si tienes un título en Tecnología de la Información? Si no, ¿qué grado necesitas?

Sí, porque no necesitas un título para ser desarrollador web. Solo necesitas tener las habilidades requeridas. Para los desarrolladores front-end, las habilidades básicas son HTML, CSS y JavaScript. Los desarrolladores de back-end necesitan conocer SQL y un lenguaje del lado del servidor, como PHP (aunque también hay otras opciones).
Sin embargo, esos son solo los conceptos básicos, también hay muchos marcos útiles en ambos extremos.
La mayoría de las compañías evaluarán las habilidades de los candidatos al trabajo revisando su cartera y trabajos anteriores, así como evaluando a los candidatos con preguntas como entrevistas con JavaScript o SQL, o lo que sea apropiado. Por eso no necesitas un título. Un título es solo una prueba de que está calificado para hacer algo, pero está lejos de ser la única prueba, y las habilidades suelen ser un indicador de capacidad mucho mejor que un título.