Como me gusta la topología en análisis, espacios métricos, separabilidad, conectividad, compacidad y propiedad de Hausdorff, ¿qué área de investigación sería la mejor para mí?

Los temas que enumera ya no se investigan activamente.

El lugar en el análisis donde más surgen estas nociones topológicas es el análisis funcional, donde algunas de estas ideas se vuelven no triviales para espacios vectoriales topológicos de dimensiones infinitas.

Sin embargo, el análisis funcional ya no es realmente un campo de investigación activo. Las preguntas importantes en el campo se resolvieron en las décadas de 1940 y 1950.
El análisis funcional sigue siendo una herramienta muy importante, utilizada principalmente cuando se estudian ecuaciones diferenciales parciales.

Existen varios enfoques para estudiar ecuaciones diferenciales parciales, pero la interacción entre topología y análisis juega un papel clave. Sin embargo, como se practica actualmente, los aspectos relevantes de la topología son “material de base” que debe aprender, pero ya no se estudia mucho por derecho propio.

Básicamente, los conceptos que dice que le gustan son de suma importancia para cualquier matemático que trabaje en análisis o topología, pero hay pocas preguntas abiertas directamente relacionadas con ellos.

Si bien es cierto que ninguna área de investigación lo hará pensar solo en los conceptos fundamentales enumerados en la pregunta, el análisis geométrico – http://en.m.wikipedia.org/wiki/G … –
hace un uso casi constante de todos ellos (y luego algunos). Básicamente cualquier cosa con un uso intensivo de topología, geometría y análisis necesita estas herramientas. ¡No desalentaría al autor de la pregunta solo porque las herramientas que le interesan no están a la vanguardia!

La topología ingenua del tipo que se ve en una primera clase de topología ya no es un área activa de investigación, porque es antigua. Sin embargo, si aprende algo de álgebra abstracta (básica), entonces hay un área de investigación muy activa que continúa el camino de la antigua tradición de topología. Se llama “Topología algebraica”. Básicamente, explora los mismos espacios con los que ha estado tratando, pero utiliza álgebra abstracta para hacerlo. Si realmente te involucras, es algo muy interesante y popular en el mundo profesional de las matemáticas. Por lo tanto, es un tema ideal para aprender si quieres ser matemático.

He estado lidiando mucho con esto. Como muchos dicen que esta no es el área de vanguardia utilizada en el escenario actual. Tengo una opinión diferente a ellos. Creo que el tema que mencionó tiene mucho que aportar en la visualización científica y el análisis de geometría. En mi opinión, con el conocimiento que tiene, puede optar por continuar estudiando el aspecto teórico, es decir, realizar investigaciones en matemáticas superiores o puede elegir un campo de investigación aplicado, como la visualización científica y el análisis de geometría. La topología de campo de vector y tensor ha contribuido mucho en la comprensión del comportamiento físico de la mecánica de sólidos y fluidos y ha ayudado a diseñar algunos de los sistemas dinámicos más avanzados.

Algo sobre esta pregunta me pone triste.

Nada de lo que ha descrito es “matemática real”, en cierto sentido: son todas las herramientas que se inventaron para ayudar a los matemáticos a describir y comprender las cosas que realmente les importaban, en lugar de las cosas que a los matemáticos les importaban directamente. Es un poco como preguntar en qué tipo de ciencia debería entrar dado que le gustan los microscopios. (No es que esto sea tu culpa; creo que es culpa del plan de estudios de pregrado).

Antes de seguir pensando en esta pregunta, le recomiendo leer The Princeton Companion to Mathematics; Es bastante completo.

La mayoría de esas áreas están muertas, en cuanto a investigación. Sin embargo, hay algunas aplicaciones interesantes para los problemas de análisis de datos con respecto a esas propiedades, y algunas extensiones interesantes de estadísticas que son posibles (intente https://www.slideshare.net/Colle …).

Si estudia álgebras de operadores, podrá pensar en la convergencia en muchas topologías diferentes.