La geometría diferencial definitivamente sigue siendo un área activa de investigación. Una masiva! Aquí hay algunas publicaciones dedicadas a la geometría diferencial y áreas relacionadas:
Journal of Differential Geometry (editado por ST Yau),
Proyecto Euclides – Información de publicación,
Geometría diferencial y sus aplicaciones (Elsevier),
Geometría diferencial – Sistemas dinámicos (DGDS),
Y hay muchos más. La mayoría de las universidades con profesores que realizan investigación matemática tienen al menos una que se especializa en algo como geometría diferencial. Eso sí, el tema ha crecido mucho desde la era clásica, en diferentes direcciones, por lo que puede encontrar varios campos distintos que utilizan métodos de geometría diferencial. Por ejemplo, análisis geométrico, teoría de calibres, geometría riemanniana, análisis armónico, teoría de Morse, relatividad general, geometría simpléctica, geometría de espín, etc.
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Mucha gente está investigando el flujo de Ricci más profundamente, ya que la prueba del único problema del Milenio resuelto hasta la fecha hizo un uso extensivo de él. Y la gente aún sigue investigando temas clásicos como la geodésica y las superficies mínimas.
No sé cuánto se compara la geometría diferencial de un “tema candente” con otras áreas de las matemáticas, pero no tiene que preocuparse de que la gente piense que es un tema seco y polvoriento. Es importante y respetado. Pero en realidad, si ya está dedicado a investigar matemática pura, entonces la tendencia del área de investigación no debería ser un problema, a menos que esté completamente dividido entre diferentes opciones / asesores. Solo ve con tu pasión.