El trabajo lo realiza una fuerza que actúa sobre un objeto solo si el objeto se desplaza mientras la fuerza está actuando. Dado que las fuerzas son cantidades vectoriales, que tienen magnitud y dirección, y los desplazamientos también son cantidades vectoriales, ya que también tienen magnitud y dirección, y no hay una razón fundamental por la cual la fuerza vectorial tiene que ser constante en magnitud o dirección, ni debe sea en la dirección del desplazamiento, el cálculo requiere una integral de línea del producto escalar de la fuerza del vector (o equivalente, el componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento) y el desplazamiento incremental sobre la trayectoria que toma el objeto mientras la fuerza está actuando. Es decir,
donde F (r) representa la fuerza del vector que actúa en función de la posición a lo largo del camino que toma el objeto mientras se desplaza y la integral de línea recorre el camino desde la posición inicial (r1) hasta la posición final (r2).
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¡Eso, por supuesto, es lo más abstracto y general posible! Es decir, no supone nada sobre la fuerza o el desplazamiento, y puede servir como la definición del trabajo realizado por una fuerza. Y eso es lo más lejos que puede llegar sin conocer los detalles.
Se simplifica mucho si el problema es unidimensional, con la fuerza actuando solo en la dirección xy el objeto solo puede moverse en la misma dirección. En ese caso:
Es decir, el trabajo realizado por la fuerza es entonces una simple integral de la fuerza multiplicada por el desplazamiento incremental integrado sobre la distancia que se mueve el objeto.
Y se simplifica aún más si la fuerza es una constante, ya que F saldría de la integral y dejaría el cálculo del trabajo de la siguiente forma:
Es decir, para esas condiciones simplificadoras, el trabajo realizado por una fuerza constante sobre un objeto cuando se mueve una distancia ∆x en la misma dirección que la fuerza es solo la magnitud de la fuerza multiplicada por el desplazamiento.
A menudo se dice que “El trabajo es fuerza por distancia”. Esa afirmación es muy engañosa y no define el trabajo. Es mucho más sutil que eso.
La forma de calcular el trabajo depende de los detalles. ¿La fuerza es constante? ¿El objeto sobre el que actúa la fuerza se mueve mientras se actúa sobre él? ¿La fuerza está en la dirección de ese desplazamiento? Si todas esas cosas son ciertas, simplemente multiplique la fuerza por el desplazamiento. Pero debe indicar cómo sabe que puede hacer eso. Si esas cosas no son todas ciertas, debe volver a la forma integral.