Tan pronto como “deje” el cilindro, el campo B va con [matemática] \ frac {1} {r} \, \, o \, \, \ frac {1} {\ rho} [/ matemática] dependiendo de su notación para la distancia radial. Digamos que B en la superficie es:
[matemáticas] \ displaystyle B | _s = \ frac {C} {R} [/ matemáticas]
Siendo C una constante. Queremos saber para qué r (o [math] \ rho [/ math]) el valor de B es la mitad de ese valor, entonces:
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[matemáticas] \ displaystyle B = \ frac {C} {r} = \ frac {1} {2} \ frac {C} {R} [/ matemáticas]
La constante C es, obviamente, constante. Ahora está claro que:
[matemáticas] \ displaystyle r = 2R [/ matemáticas].
Pero espera, dijo dos distancias? Esto se debe a que también podemos considerar el interior del cilindro. En este caso, B va con r [1], por lo que es aún más simple:
[matemáticas] \ displaystyle B | _s = C’R [/ matemáticas]
Para [matemática] B = \ frac {1} {2} B | _s [/ matemática], [matemática] r = \ frac {R} {2} [/ matemática].
[1] Esto viene de la ecuación de Maxwell:
[matemáticas] \ displaystyle \ nabla \ veces B = \ mu_0 \ vec {J} _f + \ mu_0 \ epsilon_0 \ frac {\ partial \ vec {E}} {\ partial t} [/ math]
Aquí E es constante, de modo que el término es cero, y se integra en el círculo de radio r dentro del cilindro:
[matemáticas] \ displaystyle 2 \ pi rB = \ pi r ^ 2 \ mu_0 J [/ matemáticas]
Y lo que importa [matemáticas] B = C’r [/ matemáticas].